一道很难的数学题。。。

如图,矩形ABCD中,AD=3厘米,AB=a厘米(a>3).动点M,N同时从B点出发,分别沿B→A，B→C,运动,速度是1厘米/秒.过M作直线垂直于AB,分别交AN,CD于PQ.当点N到达终点C时,点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.


(1)若a=4厘米,t=1秒,则PM=______厘米；

(2)若a=5厘米,求时间t,使△PNB∽△PAD,并求出它们的相似比；

(3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,求a的取值范围；

(4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN,梯形PQDA,梯形PQCN的面积都相等？
若存在,求a的值；若不存在,请说明理由.


TU：http://p15.freep.cn/p.aspx?u=v20_p15_p_0804292211447888_0.jpg

第1题可以适当地给些分析；其它的一定要过程啊过程~~~！
谢谢！！~~